Pin
Send
Share
Send


Titrəmə bir tarazlıq nöqtəsi haqqında mexaniki salınımlara aiddir. Salınımlar dövri ola bilər, məsələn bir sarkaç hərəkəti və ya təsadüfi, məsələn, çınqıl yolda bir şinin hərəkəti. Titrəmə səs ilə sıx bağlıdır, bu da "təzyiq dalğaları" şəklini alır. Bu dalğalar vokal kordları, musiqi alətləri və dinamiklər kimi titrəyən strukturlar tərəfindən yaranır. Eyni dalğalar qulaq nağara kimi digər quruluşların da titrəməsinə səbəb ola bilər.

Çox sayda vibrasiya arzuolunmaz hesab olunur, çünki enerjini tükəndirir və əksər insanlar səs-küy adlandırdıqları arzuolunmaz səslər yaradır. Məsələn, mühərriklərin, elektrik mühərriklərinin və ya istismarda olan hər hansı bir mexaniki cihazın vibrasiya hərəkətləri adətən istənməzdir. Bu cür titrəmələr fırlanan hissələrdəki disbalans, qeyri-bərabər sürtünmə, dişli dişlərin dişlənməsi və s. İstenmeyen titrəmələri minimuma endirmək üçün diqqətli dizayn lazımdır.

Dairəvi bir tamburun titrəməsinin mümkün rejimlərindən biridir.Cantilevered I-şüasının mümkün titrəmə rejimlərindən biridir.

Titrəmə növləri

Pulsuz vibrasiya mexaniki bir sistem ilkin giriş ilə yola salındıqda və sonra sərbəst titrəməyə icazə verildikdə baş verir. Bu tip vibrasiyaya misal olaraq bir uşağı bir yelləncəkdə geri çəkmək və sonra yola getmək və ya bir tuning çəngəlini vurmaq və onun üzüyünü çıxarmaqdır. Bundan sonra mexaniki sistem bir və ya daha çox "təbii tezliklərdə" titrəyəcək və sıfıra enəcəkdir.

Məcburi vibrasiya alternativ bir qüvvə və ya bir hərəkət mexaniki bir sistemə tətbiq edildikdə. Bu tip vibrasiyaya misal olaraq bir balanssızlıq, nəqliyyat vibrasiyası (yük maşını mühərriki, bulaqlar, yol və s. Səbəb olur) və ya bir zəlzələ zamanı bir binanın titrəməsi səbəbiylə sarsıntı yuyucu emal daxildir. Məcburi vibrasiyada vibrasiya tezliyi tətbiq olunan qüvvə və ya hərəkət sürətidir, böyüklüyün qaydası həqiqi mexaniki sistemdən asılıdır.

Titrəmə testi

Titrəmə testi, məcburi bir funksiyanı bir quruluşa daxil etməklə, ümumiyyətlə bir növ sükutla həyata keçirilir. Ümumiyyətlə quruluşda bir və ya daha çox nöqtə müəyyən bir vibrasiya səviyyəsində saxlanılır. Titrəmə sınaqlarının iki tipik növü təsadüfi və sinus testidir. Sınaq testləri, test altında olan cihazın struktur cavabını araşdırmaq üçün aparılır (DUT). Təsadüfi bir test ümumiyyətlə bir real dünya mühitini daha çox yaymaq üçün aparılır.

Titrəmə testinin çoxu şaquli oxda aparılır. Bəziləri üfüqi, çox oxlu və ya fırlanan olaraq aparıla bilər.

Titrəmə təhlili

Titrəmə analizinin əsaslarını sadə kütlə-yay-damper modelini öyrənməklə başa düşmək olar. Həqiqətən, hətta bir avtomobil korpusu kimi mürəkkəb bir quruluş, sadə kütlə-yay-damper modellərinin "toplama" şəklində modelləşdirilə bilər. Kütləvi yay-damper modeli sadə bir harmonik osilatörün nümunəsidir. Davranışını təsvir etmək üçün istifadə olunan riyaziyyat, RLC dövrəsi kimi digər sadə harmonik osilatorlarla eynidır.

Qeyd: Bu yazıda addım-addım riyazi törəmələr daxil edilməyəcək, lakin vibrasiya analizindəki əsas tənliklər və anlayışlara diqqət yetiriləcəkdir. Zəhmət olmasa ətraflı nəticələr üçün məqalənin sonundakı istinadlara baxın.

Sönmədən pulsuz vibrasiya

Kütlə-yay damperinin araşdırılmasına başlamaq üçün dempinqin əhəmiyyətsiz olduğunu və kütləyə (yəni sərbəst vibrasiyaya) tətbiq olunan heç bir xarici qüvvənin olmadığını güman edəcəyik.

Yay tərəfindən kütləə tətbiq olunan qüvvə, yayın "x" ilə uzanan miqdarı ilə mütənasibdir (yazın kütlənin ağırlığına görə artıq sıxıldığını güman edəcəyik). Mütənasiblik sabitliyi, k, yayın sərtliyidir və qüvvə / məsafə vahidlərinə malikdir (məsələn, lbf / in və ya N / m)

Kütlənin yaratdığı qüvvə Nyutonun ikinci hərəkət qanunu ilə verilən kütlənin sürətlənməsi ilə mütənasibdir.

Kütlənin üzərindəki qüvvələrin cəmi bu adi diferensial tənliyi əmələ gətirir:

Kütləvi yay sisteminin sadə harmonik hərəkəti

Fərz etsək ki, yayı məsafədən uzadaraq titrəməyə başlayırıq A və gedək, kütlə hərəkətini təsvir edən yuxarıdakı tənliyin həlli:

Bu həll, bir amplituda olan sadə harmonik hərəkət ilə salınacağını söyləyir A və bir tezlik Nömrə vibrasiya analizində ən vacib kəmiyyətlərdən biridir və adlanır işıqsız təbii tezlik. Sadə kütləvi yay sistemi üçün, kimi təyin olunur:

Qeyd: Bucaq tezliyi () saniyədə radian vahidləri ilə tənliklərdə çox istifadə olunur, çünki bu, tənlikləri asanlaşdırır, lakin sistemin tezliyini ifadə edərkən normal olaraq "standart" tezliyə (Hz və ya saniyədə bərabər dövrə) çevrilir.

Sistemin kütləsi və sərtliyini bilsəniz, yuxarıda göstərilən formuldan istifadə edərək başlanğıc pozuntusu ilə sistemin hərəkətə keçirildiyi anda titrəyəcəyi tezliyi təyin edə bilərsiniz. Hər bir titrəmə sistemi, narahat olduqda dərhal titrəyəcəyi bir və ya daha çox təbii tezliklərə malikdir. Bu sadə münasibət kütlə və ya sərtlik əlavə etdikdən sonra daha mürəkkəb bir sistemin nə olacağını başa düşmək üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, yuxarıdakı düstur bir avtomobil və ya yük maşını tam yükləndikdə asqının yüklənmədən daha yumşaq olacağını izah edir, çünki kütlə artdı və buna görə sistemin təbii tezliyini azaldıb.

Sistemin heç bir qüvvə altında titrəməsinə səbəb olan nədir?

Bu düsturlar meydana gələn hərəkəti təsvir edir, lakin sistemin niyə salındığını izah etmir. Dırmaşma səbəbi enerjinin qorunması ilə əlaqədardır. Yuxarıdakı nümunədə baharı bir dəyəri ilə uzatdıq A və buna görə potensial enerjini saxlamışıq () yazda. Bir dəfə baharı buraxdıqdan sonra, bahar uzanmamış vəziyyətinə qayıtmağa çalışır və bu müddətdə kütləni sürətləndirir. Baharın uzanmamış vəziyyətə gəldiyi nöqtədə artıq enerji saxlanılmır, lakin kütlə maksimum sürətə çatdı və buna görə də bütün enerji kinetik enerjiyə çevrildi (). Kütlə daha sonra yayı sıxışdırdığı üçün və kinetik enerjini yenidən öz potensialına köçürdüyü üçün yavaşlamağa başlayır. Kütlədəki kinetik enerjinin və yazdakı potensial enerjinin geri və irəli ötürülməsi kütlənin salınmasına səbəb olur.

Bu sadə modeldə, kütlə eyni miqyasda əbədi olaraq sürüşməyə davam edəcək, ancaq real sistemdə həmişə deyilən bir şey var nəmləndirir enerjini yayır və buna görə sistem nəticədə onu istirahətə gətirir.

Damping ilə pulsuz vibrasiya

Kütlənin sürətinə mütənasib bir qüvvə çıxardan modelə indi "viskoz" damper əlavə edirik. Bir mayenin içərisində bir cismin təsirini modelləşdirdiyinə görə damlama viskoz adlanır. Mütənasiblik sabitidir c sönmə əmsalı adlanır və sürətdən artıq güc qüvvələri var (lbf s / in və ya N s / m).

Kütlənin üzərindəki qüvvələri cəmləyərək aşağıdakı adi diferensial tənliyi verir:

Bu tənliyin həlli nəm miqdarından asılıdır. Dampinq kifayət qədər azdırsa, sistem yenə də titrəyəcək, amma nəticədə zaman keçdikcə titrəməyi dayandıracaqdır. Bu işə underdamping deyilir - bu hal vibrasiya analizində ən çox maraq doğuran haldır. Dampinqi yalnız sistemin salınmayacağı nöqtəyə qədər artırsaq tənqidi damping (tənəffüs zamanı kritik dampinqin artması halında sistem həddindən artıq çox deyilir). Kütləvi yay damper modelində kritik nəmləndirmə üçün amortizator əmsalı əldə etməli olduğu dəyər:

Sistemdəki nəm miqdarını xarakterizə etmək üçün damlama nisbəti deyilən bir nisbət istifadə olunur (həmçinin damping amili və% kritik damping kimi tanınır). Bu damping nisbəti, kritik dampinqə çatmaq üçün tələb olunan dampinq miqdarı üzərindəki faktiki nəmin nisbətidir. Damping nisbəti düsturu (kütləvi yay damper modelinin:

Məsələn, metal konstruksiyalarda (məsələn, təyyarənin fuselajı, mühərrik krank mili) 0,05-dən az azalma amilləri olacaq, 0,2-0,3 aralığında isə avtomobil asqıları.

Kütləvi yay damper modeli üçün sualtı sistemin həlli aşağıdakılardır.

Dəyəri X, ilkin böyüklük, və , faza dəyişməsi yayın uzandığı miqdarla müəyyən edilir. Bu dəyərlər üçün düsturları istinadlarda tapa bilərsiniz.

Çözümdən qeyd etmək lazım olan əsas məqamlar eksponensial müddət və kosin funksiyasıdır. Eksponent termin, sistemin "nəm" in nə qədər tez aşağı düşdüyünü, nəmlik nisbətini nə qədər artırsa, o qədər tez sıfıra endirir. Kozin funksiyası məhlulun salınan hissəsidir, lakin salınımların tezliyi işlənməmiş vəziyyətdən fərqlidir.

Bu vəziyyətdə tezliyə "batmış təbii tezlik" deyilir , və aşağı salınmış təbii tezliklə aşağıdakı düsturla əlaqələndirilir:

Rütubətli təbii tezlik, işlənməmiş təbii tezliyə nisbətən daha azdır, lakin bir çox praktiki vəziyyət üçün sönmə nisbəti nisbətən azdır və buna görə də fərq cüzidir. Buna görə sönmüş və sönməmiş təsvirlər təbii tezliyi ifadə edərkən tez-tez çəkilir (məsələn, 0,1 damping nisbəti ilə, nəmlənmiş təbii tezlik işlənməmişdən yalnız 1 faiz azdır).

Yan tərəfdəki yerlər, 0.1 və 0.3 damlama nisbətlərinin sistemin zaman keçdikcə "çalma" necə təsir göstərdiyini göstərir. Təcrübədə tez-tez görülən şey, təsirdən sonra sərbəst vibrasiyanı eksperimental olaraq ölçmək (məsələn, bir çəkiclə) və sonra salınma sürətini ölçməklə salınma sürətini, eləcə də sönmə nisbətini ölçərək sistemin təbii tezliyini müəyyən etməkdir. . Təbii tezlik və sönmə nisbəti yalnız sərbəst vibrasiyada vacib deyil, eyni zamanda sistemin məcburi vibrasiya altında necə davranacağını da xarakterizə edir.

Damping ilə məcburi vibrasiya

Bu hissədə aşağıda şəklində bir harmonik qüvvə əlavə etdikdə yaz kütləsi damper modelinin davranışına baxacağıq. Bu tip bir qüvvə, məsələn, fırlanan bir balanssızlıq nəticəsində yarana bilər.

Əgər qüvvələri yenidən kütlə üzərində cəmləşdirsək, aşağıdakı adi diferensial tənliyi əldə edirik:

Bu problemin davamlı dövlət həlli aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Nəticə, kütlənin tətbiq olunan qüvvənin eyni tezliyində, f, ancaq bir faza dəyişməsi ilə salınacağını bildirir .

"X" vibrasiyasının amplitüdü aşağıdakı düsturla müəyyən edilir.

"R", harmonik qüvvə tezliyinin kütləvi yay-damper modelinin işləməyən təbii tezliyinə nisbəti kimi müəyyən edilir.

Faza dəyişməsi, , aşağıdakı düsturla müəyyən edilir.

"Sistemin tezlik cavabı" adlanan bu funksiyaların süjeti məcburi vibrasiyanın ən vacib xüsusiyyətlərindən birini təqdim edir. Zorlama tezliyi təbii tezliyə yaxınlaşdıqda yüngül nəmlənmiş bir sistemdə () vibrasiyanın amplitüdü son dərəcə yüksək ola bilər. Bu fenomen deyilir rezonans (sonradan bir sistemin təbii tezliyinə tez-tez rezonans tezliyi deyilir). Rotor daşıyıcı sistemlərdə rezonans bir tezliyi həyəcanlandıran istənilən fırlanma sürəti kritik bir sürət adlanır.

Bir mexaniki sistemdə rezonans meydana gəlsə, bu çox zərərli ola bilər və sistemin nəticədə uğursuzluğuna səbəb ola bilər. Nəticə olaraq, vibrasiya analizinin əsas səbəblərindən biri bu tip rezonansın nə vaxt baş verəcəyini proqnozlaşdırmaq və sonra bunun baş verməməsi üçün hansı addımların atılacağını müəyyən etməkdir. Amplituda süjetində göstərildiyi kimi, damping əlavə edilməsi vibrasiyanın ölçüsünü əhəmiyyətli dərəcədə azalda bilər. Ayrıca, təbii tezliyi sistemin sərtliyini və ya kütləsini dəyişdirərək məcburi tezlikdən uzaqlaşdırmaq olarsa, ölçü azaldıla bilər. Sistem dəyişdirilə bilməzsə, bəlkə məcbur tezlik dəyişdirilə bilər (məsələn, güc yaradan maşının sürətini dəyişdirmək).

Tezlik reaksiya sahələrində göstərilən məcburi vibrasiya ilə bağlı aşağıdakı bəzi məqamlar var.

  • Müəyyən bir tezlik nisbəti, vibrasiyanın amplitüdü, X, qüvvənin amplitüdünə birbaşa mütənasibdir (məsələn, bir qüvvəni ikiqat artırsa, vibrasiya iki dəfə artır)
  • Az və ya zəif bir şəkildə boşalma ilə, tezlik nisbəti olduqda titrəmə məcburi tezliyə uyğundur r Tezlik nisbəti olduqda <1 və 180 dərəcə fazadan kənar r >1
  • R << 1 olduqda amplitüd yalnız statik qüvvənin altındakı yayın açısıdır . Bu defeksiyaya statik açı deyilir . Beləliklə, r << 1 olduqda damperin və kütlənin təsiri minimaldır.
  • R >> 1 olduqda vibrasiyanın amplitüdü əslində statik açıdan daha azdır . Bu bölgədə kütlənin yaratdığı güc (F = ma) üstünlük təşkil edir, çünki kütlənin gördüyü sürətlənmə tezliyi ilə artır. Yazda açığın göründüyü üçün, X, bu bölgədə, yayın ötürdüyü qüvvə azalır (F=kx) bazaya endirilir. Buna görə kütləvi yay-damper sistemi harmonik qüvvəni vibrasiya izolyasiyası adlanan montaj bazasından təcrid edir. Maraqlıdır ki, daha çox nəmlənmə r >> 1 olduqda vibrasiya izolyasiyasının təsirini azaldırF=CV) bazaya da ötürülür.

Rezonansa səbəb olan nədir?

Rezonans, yayı və kütləni kinetik enerjini saxlayan və yay saxlayan potensial enerjini enerji saxlayıcı elementlər kimi görsəniz başa düşmək asandır. Daha əvvəl müzakirə edildiyi kimi, kütlə və yayın onlara təsir edən bir qüvvəsi olmadıqda, enerjini təbii tezliyə bərabər sürətlə geri və irəli ötürürlər. Başqa sözlə, enerjinin həm kütlə, həm də bahara səmərəli şəkildə vurulacağı təqdirdə enerji mənbəyi enerjini təbii tezliyə bərabər nisbətdə bəsləməlidir. Kütlənə və yaza bir qüvvə tətbiq etmək uşağı yelləncəyə basdırmağa bənzəyir, yelləncəkin daha yüksək və daha yüksək olmasını istəyirsənsə, doğru anda itələmək lazımdır. Yelləncək vəziyyətində olduğu kimi, böyük hərəkətlər almaq üçün tətbiq olunan qüvvənin mütləq yüksək olması lazım deyil; təkan sistemə enerji əlavə saxlamaq lazımdır.

Damper, enerji saxlamaq əvəzinə enerjini yayır. Damcı qüvvəsi sürətə mütənasib olduğundan, damper nə qədər çox enerji yayırsa. Buna görə damper tərəfindən yayılan enerji güclə verilən enerjiyə bərabər olduqda bir nöqtə gələcəkdir. Bu nöqtədə sistem maksimum amplituda çatdı və tətbiq olunan qüvvə eyni qaldıqca bu səviyyədə titrəməyə davam edəcəkdir. Damping yoxdursa, enerjini yaymaq üçün bir şey yoxdur və buna görə də nəzəri cəhətdən hərəkət sonsuzluğa qədər artmağa davam edəcəkdir.

Kütləvi yay-damper modelinə "kompleks" qüvvələrin tətbiqi

Əvvəlki hissədə modelə yalnız sadə bir harmonik qüvvə tətbiq olundu, lakin bu iki güclü riyazi alətdən istifadə edərək xeyli genişləndirilə bilər. Birincisi, zamanın funksiyası (vaxt sahəsi) kimi bir siqnal götürən və frekans (tezlik sahəsi) funksiyası olaraq harmonik komponentlərinə parçalayan Furye çevrilməsidir. Məsələn, aşağıdakı dövrü təkrarlayan kütləvi yay-damper modelinə bir qüvvə tətbiq edək - 0,5 saniyə üçün 1 nyutona bərabər, sonra isə 0,5 saniyə üçün qüvvə yoxdur. Bu cür güc 1 Hz kvadrat dalğa şəklinə malikdir.

1 Hz kvadrat dalğa sinus dalğalarının (harmoniklərin) cəmlənməsi və müvafiq tezlik spektri kimi necə göstərilə bilər

Kvadrat dalğasının Furye çevrilməsi, kvadrat dalğasını meydana gətirən harmoniklərin böyüklüyünü təqdim edən bir tezlik spektri yaradır (faza də yaradılan, lakin adətən daha az narahatlıq doğurur və buna görə də tez-tez qurulmur). Furye çevrilməsindən keçici (məsələn, impulslar) və təsadüfi funksiyalar kimi qeyri-dövri funksiyaları təhlil etmək üçün də istifadə edilə bilər. Müasir kompüterin meydana gəlməsi ilə Fourier transformasiyası, pəncərə funksiyası ilə birlikdə, Fast Furyer Transform (FFT) kompüter alqoritmindən istifadə edərək demək olar ki, həmişə hesablanır.

Kvadrat dalğa qüvvəmiz vəziyyətində, ilk komponent həqiqətən 0,5 yeni bir qüvvədir və tezlik spektrində "0" Hz bir dəyər ilə təmsil olunur. Növbəti komponent 0.44 amplituda olan 1 Hz sinus dalğasıdır. Bu xətt 1 Hz-də göstərilir. Qalan komponentlər tək tezliklərdə olur və mükəmməl kvadrat dalğa yaratmaq üçün sonsuz miqdarda sine dalğaları tələb olunur. Beləliklə, Furye çevrilməsi qüvvəni daha "mürəkkəb" güc (məsələn, kvadrat dalğa) əvəzinə tətbiq olunan sinusoidal qüvvələrin məcmusu kimi şərh etməyə imkan verir.

Əvvəlki hissədə titrəmə həlli vahid bir harmonik qüvvə üçün verilmişdi, lakin Furye çevrilməsi ümumiyyətlə çoxlu harmonik qüvvələr verəcəkdir. İkinci riyazi vasitə, "super mövqe prinsipi", sistem xətti olarsa, həlli çox qüvvədən toplamağa imkan verir. Bahar kütləsi-damper modeli vəziyyətində, yay qüvvəsi yerdəyişmə ilə nisbətlidirsə və dempinq maraq hərəkəti aralığında sürətlə mütənasibdirsə, sistem xətti olur. Beləliklə, kvadrat dalğası ilə problemin həlli, kvadrat dalğasının tezlik spektrində tapılan harmonik qüvvələrin hər birindən proqnozlaşdırılan vibrasiyanı cəmləməkdir.

Tezliyə cavab modeli

Bir vibrasiya probleminin həllinə bir giriş / çıxış əlaqəsi - qüvvənin giriş olduğu, çıxışı isə vibrasiya olduğu kimi baxa bilərik. Tezlik sahəsindəki qüvvə və vibrasiyanı (böyüklük və faza) təmsil edərsə, aşağıdakı əlaqəni yaza bilərik:

tezliyə cavab vermə funksiyası adlanır (ötürmə funksiyası da deyilir, lakin texniki olaraq dəqiq deyil) və həm böyüklükdə, həm də faz komponentində (mürəkkəb bir nömrə, həqiqi və xəyali bir komponent kimi təmsil olunarsa). Kütləvi yay-damper sistemi üçün tezlik reaksiya funksiyasının (FRF) miqyası daha əvvəl təqdim edildi.

FRF mərhələsi də əvvəllər təqdim edilmişdir:

Məsələn, kütləsi 1 kq, yaz sərtliyi 1,93 N / mm və sükut nisbəti 0,1 olan kütləvi yay-damper sistemi üçün FRF hesablayaq. Yaz və kütlənin dəyərləri bu xüsusi sistem üçün 7 Hz təbii bir tezlik verir. Əvvəldən 1 Hz kvadrat dalğa tətbiq etsək, kütlənin proqnozlaşdırılan vibrasiyasını hesablaya bilərik. Şəkildə yaranan vibrasiya əks olunur. Bu nümunədə kvadrat dalğasının dördüncü harmoniyası 7 Hz-ə düşməsi baş verir. Kütləvi yay-damperin tezlik reaksiyası, giriş qüvvəsinin nisbətən aşağı 7 Hz harmonik olmasına baxmayaraq yüksək 7 Hz vibrasiya verir. Bu nümunədə ortaya çıxan vibrasiyanın həm məcburetmə funksiyasından, həm də qüvvənin tətbiq olunduğu sistemdən asılı olduğu vurğulanır.

Tezliyə cavab modeli.

Şəkildə yaranan vibrasiyanın zaman sahəsini təmsil etməsi də göstərilir. Bu, tezlik domeni məlumatlarını vaxt sahəsinə çevirən tərs bir Furier Transformunu həyata keçirməklə aparılır. Praktikada bu nadir hallarda edilir, çünki tezlik spektri bütün lazımi məlumatları verir.

Tezliyə cavab vermə funksiyası (FRF) sistemin kütləsi, sönməsi və sərtliyi barədə biliklərdən mütləq hesablanmamalıdır, lakin eksperimental olaraq ölçülə bilər. Məsələn, məlum bir qüvvə tətbiq etsəniz və tezliyi süpürsəniz və nəticədə meydana çıxan vibrasiyanı ölçsəniz, tezlik reaksiya funksiyasını hesablaya və sistemini xarakterizə edə bilərsiniz. Bu üsul bir quruluşun vibrasiya xüsusiyyətlərini təyin etmək üçün eksperimental modal analiz sahəsində istifadə olunur.

Sərbəstlik sistemlərinin və rejim formalarının bir neçə dərəcəsi

Sadə kütləvi yay damper modeli vibrasiya analizinin əsasını təşkil edir, lakin daha mürəkkəb sistemlər haqqında nə demək olar? Yuxarıda təsvir olunan kütləvi yay-damper modelinə vahid sərbəstlik dərəcəsi (DOF) model deyilir, çünki kütlənin yalnız yuxarı və aşağı hərəkət etdiyini güman etdik. Daha mürəkkəb sistemlər vəziyyətində sistemi daha çox kütlələrə ayırmalı və birdən çox istiqamətə azadlıq dərəcəsi ilə irəliləmələrinə icazə verməliyik. Çoxsaylı sərbəstlik dərəcələrinin (MDOF) əsas anlayışlarını rəqəmdə göstərildiyi kimi yalnız 2 dərəcə azadlıq modelinə baxaraq başa düşmək olar.

2 dərəcə azadlıq modeli.

2DOF sisteminin hərəkət tənlikləri aşağıdakılardır:

Bunu matris formatında yenidən yaza bilərsiniz:

Bu matris tənliyinin daha yığcam forması aşağıdakı kimi yazıla bilər:

harada , , və kütlə, sönmə və sərtlik matrisləri adlandırılan simmetrik matrislərdir. Matrislər NxN kvadrat matrisalardır, burada N sistemin azadlıq dərəcələrinin sayıdır.

Növbəti təhlildə nəmlənmə və tətbiq olunan qüvvələrin olmadığı (yəni sərbəst vibrasiya) vəziyyətinə baxacağıq. Görünüşlü bir nəm sisteminin həlli bir qədər daha mürəkkəbdir və Maia-da göstərilir.1

Bu diferensial tənliyi aşağıdakı həll növünü qəbul edərək həll etmək olar:

Qeyd: Eksponensial həlli istifadə xətti diferensial tənliklərin həlli üçün istifadə olunan riyazi hiylədir. Euler düsturundan istifadə etsək və məhlulun yalnız həqiqi hissəsini götürsək, 1 DOF sistemi üçün eyni kosin həllidir. Eksponent həlli yalnız riyazi ilə manipulyasiya etmək daha asan olduğundan istifadə olunur.

Sonra tənlik belə olur:

Bəri sıfıra bərabər ola bilməz tənlik aşağıdakıa azalır.

Eigenvalue problemi

Bu riyaziyyatda eigenvalue probleminə istinad edilir və tənliyi əvvəlcədən vuraraq standart formata qoymaq olar

və icazə versək

Problemin həlli N ilə nəticələnir eigenvalues (yəni. ), burada N sərbəstlik dərəcələrinin sayına uyğundur. Eigenvalues ​​sistemin təbii tezliklərini təmin edir. Bu eigenvalues, dəyərləri orijinal bərabərliklər geri əvəz zaman hər bir eigenvalue uyğun olanlar deyilir eigenvectors. Bu eigenvectorlar sistemin rejimi formalarını təmsil edir. Eigenvalue probleminin həlli olduqca çətin ola bilər (xüsusən bir çox sərbəstlik problemi üçün), amma xoşbəxtlikdən əksər riyaziyyat analiz proqramlarında eigenvalue rutinləri var.

Eigenvalues ​​və eigenvectors tez-tez aşağıdakı matris formatında yazılır və sistemin modal modelini təsvir edir:

2 DOF modelimizdən istifadə edərək sadə bir nümunə, anlayışları izah etməyə kömək edə bilər. Hər iki kütlənin kütləsi 1 kq və hər üç bulağın sərtliyi 1000 N / m bərabər olsun. Bu problem üçün kütlə və sərtlik matrisidir:

Sonra .

Bir eigenvalue gündəlik tərəfindən verilən bu problemin eigenvalues ​​olacaq:

Hertsz vahidlərindəki təbii tezliklər daha sonra (xatırlayıram) ) .

Müvafiq təbii tezliklərin iki rejimi şəkli aşağıdakı kimi verilir:

Sistem 2 DOF sistemi olduğundan, müvafiq təbii tezlikləri və formaları olan iki rejim var. Rejim forma vektorları mütləq hərəkət deyil, sadəcə azadlıq dərəcələrinin nisbi hərəkətini təsvir edin. Bu vəziyyətdə, ilk rejim forma vektoru eyni dəyər və işarəyə sahib olduqları üçün kütlələrin fazada birlikdə hərəkət etdiklərini söyləyir. İkinci rejim forma vektoru vəziyyətində, hər kütlə eyni nisbətdə əks istiqamətdə hərəkət edir.

Bir çox DOF probleminin illüstrasiyası

Bir çox sərbəstlik dərəcəsi olduqda, rejim şekillerinin ən yaxşı üsulu onları canlandırmaqdır. Cantilevered I-şüası üçün cizgi rejimi şekillerinin nümunəsi aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Bu vəziyyətdə kütlə və sərtlik matrislərini yaratmaq və eigenvalue problemini həll etmək üçün sonlu bir element modelindən istifadə edilmişdir. Hətta bu nisbətən sadə model 100 dərəcədən artıq bir sərbəstliyə malikdir və buna görə də bir çox təbii tezlik və rejim şəklidir. Ümumiyyətlə, yalnız ilk bir neçə rejim vacibdir.

Cantilevered I-şüasının rejimi formaları
1-ci yan əyilmə1-ci döngə1-ci şaquli əyilmə
2-ci yan əyilmə2-ci döngə2-ci şaquli əyilmə

Birdən çox DOF problemi tək DOF probleminə çevrildi

Eigenvectors ortogonallıq xüsusiyyətləri deyilən çox vacib xüsusiyyətlərə malikdir. Bu xüsusiyyətlərdən çox dərəcə azadlıq modellərinin həllini asanlaşdırmaq üçün istifadə edilə bilər. Eigenvecttorların aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olduğunu göstərmək olar.

rejimlərin hər biri üçün modal kütlə və sərtlik dəyərlərini ehtiva edən diaqonal matrislərdir. (Qeyd: eigenvecttorlar (rejim formaları) özbaşına miqyasda ola biləcəyi üçün ortogonallıq xüsusiyyətləri eigenvectorları miqyaslandırmaq üçün çox vaxt istifadə olunur, buna görə hər rejim üçün modal kütlə dəyəri 1-ə bərabərdir. Modal kütlə matrixi şəxsiyyət matrisidir)

Bu xüsusiyyətlərdən aşağıdakı koordinat çevrilməsini edərək çox dərəcə sərbəstlik modellərinin həllini asanlaşdırmaq üçün istifadə edilə bilər.

Bu koordinat çevrilməsini orijinal sərbəst vibrasiya diferensial tənliyimizdə istifadə etsək, aşağıdakı tənliyi alırıq.

Bu tənliyi əvvəlcədən yaymaqla ortogonallıq xüsusiyyətlərindən yararlana bilərik

Ortogonallıq xüsusiyyətləri sonra bu tənliyi sadələşdirin:

Bu tənlik çox dərəcə azadlıq sistemləri üçün vibrasiya analizinin əsasını təşkil edir. Bənzər bir nəticə nəm sistemlər üçün əldə edilə bilər.1 Əsas odur ki, modal və sərtlik matrisləri diaqonal matrislərdir və buna görə tənlikləri "ayırdıq". Başqa sözlə, problemimizi böyük bir çox səviyyəli azadlıq problemindən yuxarıda göstərilən eyni metodlardan istifadə etməklə həll edilə bilən çoxsaylı vahid azadlıq probleminə çevirdik.

X üçün həll etmək əvəzinə, modal koordinatlar və ya modal iştirak amilləri adlandırılan q üçün əvəzinə bir həll edilir.

Bunun nə olduğunu anlamaq daha aydın ola bilər kimi yazılır:

Bu formada yazıldığında görürük ki, hər bir sərbəstlik dərəcəsindəki titrəmə rejim formalarının xətti cəmidir. Bundan əlavə, hər bir rejimin son titrəmədə "iştirak etdiyi" q, onun modal iştirak amili ilə müəyyən edilir.

Həmçinin bax

Qeydlər

  1. 1.0 1.1 Silva Maia, Nəzəri və eksperimental modal analiz (Taunton, İngiltərə: Araşdırma Tədqiqatları Mətbuatı, ISBN 0471970670).

İstinadlar

  • Hartog, J.P. Den. Mexanik vibrasiya. New York, NY: Dover Nəşrləri, 1985. ISBN 0486647854
  • Inman, Daniel J. Mühəndislik vibrasiyası. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994. ISBN 0139517731
  • Maia, Silva. Nəzəri və eksperimental modal analiz. Taunton, Böyük Britaniya: Tədqiqat Mətbuatı. ISBN 0471970670
  • Rao, Singiresu. Mexanik vibrasiya. Oxu, MA: Addison-Wesley, 1990. ISBN 0201501562
  • Tekin, W.T. Titrəmə nəzəriyyəsi. London, Böyük Britaniya: Chapman & Hall, 1996. ISBN 0412783908

Xarici linklər

Bütün bağlantılar 20 Yanvar 2016 tarixində alındı.

  • Hiperfizika Təhsil Saytı, Salınım / vibrasiya anlayışları.
  • Dairəvi bir membranın normal vibrasiya rejimləri.

Videoya baxın: - Ramil usta Demirci-stend isleri (Oktyabr 2021).

Pin
Send
Share
Send